□ Problema B.3. : COMUNIDAD VALENCIANA 2018 (JUNIO) □

Apartado A
Construiremos la función que nos piden por partes. Se tendrá que $A_T = A_{\triangle} + A_{\square}$. En primer lugar, tenemos $x$ cm de hilo para construir el triángulo. Un triángulo equilátero tiene todos sus lados (y ángulos) iguales. De manera que cada lado del mismo será $x/3$. Para calcular la altura del mismo, aplicamos el teorema de Pitágoras:

$\displaystyle h^2 + \left ( \frac{x}{6} \right )^2 = \left ( \frac{x}{3} \right )^2 \Rightarrow h^2 =\frac{x^2}{9} - \frac{x^2}{36} = \frac{x^2}{12}$

$\displaystyle \mathrm{Como} \ h \ \mathrm{es \ una \ longitud} \Rightarrow h>0 \Longrightarrow h= \frac{x}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} x}{6} \: (\mathrm{cm})$

Luego, $\displaystyle A_{\triangle} = \frac{1}{2} \underset{b}{\underbrace{\frac{x}{3}}} \cdot \underset{h}{\underbrace{ \frac{\sqrt{3} x}{6}}} = \frac{\sqrt{3}\cdot x^2}{36} \: (\mathrm{cm}^2)$.
Por parte del cuadrado, cada lado del mismo tomará el valor de $\frac{100-x}{4}$. Luego, $A_{\square} = \left ( \frac{100-x}{4} \right )^2 $. Por lo tanto, como solución del apartado A:
$$\boxed{A_T (x) = \frac{\sqrt{3}\cdot x^2}{36} + \left ( \frac{100-x}{4} \right )^2}$$
Apartado B
Para calcular el mínimo de la función, calculamos aquellos puntos en los que la primera derivada de $A_T (x)$ sea nula. Para ello, debemos simplificar nuestra función lo máximo posible:

$\displaystyle A_T (x) = \frac{\sqrt{3} \cdot x^2}{36} + \frac{(100-x)^2}{16} = \frac{4\sqrt{3} \cdot x^2 + 9(100-x)^2}{144} = \frac{(4\sqrt{3} +9)x^2 -1800x + 90000}{144}$

Procedemos ahora a derivar e igualar a cero:

$\displaystyle A'_T (x) = \frac{2(4\sqrt{3} + 9) x -1800}{144} = 0 \Leftrightarrow x=\frac{900}{4\sqrt{3} +9}$

Si calculamos la segunda derivada, vemos que $A''_T(x)= \frac{4\sqrt{3} +9}{72}>0$. Luego $x=\frac{900}{4\sqrt{3}+9}\sim 56.5 (\mathrm{cm})$ es el mínimo de la función planteada.

Apartado C
Para resolver este apartado, hay que tener en cuenta que $A_T: [0,100] \to \mathbb{R}$. En otras palabras, el dominio que consideramos para la función es el [0,100]. Por este motivo, el máximo de la función será aquel abscisa que proporcione una mayor imagen en $A_T$. Como tenemos una parábola convexa (tiene un mínimo calculable), la función será simétrica respecto al vértice, el cual localizamos en el mínimo. Como dicho mínimo se encuentra más a la derecha que a la izquierda en el intervalo, el máximo se encontrará en $x=0$:

$A_T (0) = 25^2 = 625 \ (\mathrm{cm}^2)$

Por tanto, como conclusión del apartado C, se tiene que la función área alcanza el máximo en $x=0$, siendo el área únicamente generada por el cuadrado.