Apartado A
Para calcular el dominio de la función $f(x)$, aplicamos la definición:
$\mathrm{Dom}(f) \underset{\mathrm{def}}{=} \{ x\in \mathbb{R} : x^2-x\neq 0 \} \equiv \mathbb{R} \setminus \{0,1 \} = \mathbb{R} - \{ 0,1 \}$
Procedemos con las asíntotas de la función f. Los candidatos a ser asíntota vertical son $x=0,1$. Demostramos la existencia de asíntota vertical para ambos casos:
$x=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lim_{x\to 0^-} \left ( \frac{1}{x^2-x} \right ) = \frac{1}{0^+}= +\infty\\ \lim_{x\to 0^+} \left ( \frac{1}{x^2-x} \right ) = \frac{1}{0^-} = -\infty \end{matrix}\right \} \overset{\mathrm{Def}}{\Rightarrow} \exists \mathrm{A.V. \: en} \: x=0$
$x=1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \lim_{x\to 1^-} \left ( \frac{1}{x^2-x} \right ) = \frac{1}{0^-}= -\infty\\ \lim_{x\to 1^+} \left ( \frac{1}{x^2-x} \right ) = \frac{1}{0^+} = +\infty \end{matrix}\right \} \overset{\mathrm{Def}}{\Rightarrow} \exists \mathrm{A.V. \: en} \: x=1$
Respecto a las asíntotas horizontales, se tiene:
$\lim_{x\to \pm \infty} \frac{1}{x^2-x} = 0 \underset{\mathrm{Def}}{\Rightarrow}\exists A.H: y=0 (x\to \pm \infty)$
Es posible demostrar que si una función tiene asíntota horizontal para $x\to \pm \infty$, no habrá chance de que se generen asíntotas oblícuas. Finalmente, como conclusión del apartado A: se tienen dos asíntotas verticales: $x=0$ y $x=1$; una asíntota horizontal: $y=0 (x\to \pm \infty)$, y no existen asíntotas oblícuas.
Apartado B
Se nos pide la monotonía de la función. Procedemos a calcular la primera derivada de f:
$f(x)=(x^2-x)^{-1} \Rightarrow \frac{d}{dx}f(x) \equiv f'(x) = -1(x^2-x)^{-2} (x^2-x)' = \frac{1-2x}{(x^2-x)^2}$
Calculamos los puntos en los que nuestra primera derivada se hace nula:
$f'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2x=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
Formamos una tablita con los intervalos que se forman por las asíntotas verticales y el punto crítico que acabamos de calcular (un punto crítico es aquel en donde la función derivada vale cero) para realizar el estudio del signo de f(x):
De la tablita obtenemos que la función f es creciente en el intervalo $\left ( -\infty, \frac{1}{2}\right )$ y decreciente en $\left ( \frac{1}{2} , +\infty \right )$
Apartado C
Nos metemos en terrenos xidos. El área limitada por la curva $y=f(x)$ y el eje de abscisas sabemos que viene determinada por una integral definida (siempre que la función sea continua e integrable en el intervalo que nos interesa). El intervalo que estudiamos a la hora de generar el área es $x\in [2,3]$. En esta región no existen problemas de continuidad por parte de $f(x)$ y esta es puramente positiva en el intervalo. Por este motivo, el área $(A)$ buscada es:
$$A= \int_2 ^3 \frac{1}{x^2-x} \: dx$$
Usualmente, se procede a calcular la integral inmediata para después aplicar la regla de Barrow. Es lo que haremos. Sea:
$$I(x) = \int \frac{dx}{x^2-x} = \int \left ( \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} \right ) \: dx$$
(Este tipo de integrales no nos entran a nosotros, los de Canarias) Aplicaremos el método de integración por fracciones parciales. Buscamos, operando en base al mínimo común denominador de las expresiones planteadas: $x(x-1)$; los valores de $a,b \in \mathbb{R}$ tales que:
$$ \frac{1}{x(x-1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x-1} = \frac{a(x-1)+bx}{x(x-1)} = \frac{(a+b)x -a}{x(x-1)}$$
De los miembros extremos obtenemos el sistema:
$$\left\{\begin{matrix} a+b=0\\ -a=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow (a,b)=(-1,1)$$
Para finalizar, calculamos ya $I(x)$:
$$I(x)= \int \frac{dx}{x^2-x} = \int \left ( \frac{-1}{x} + \frac{1}{x-1} \right ) \ dx = - \int \frac{dx}{x} + \int \frac{dx}{x-1} = \ln |x-1| - \ln |x| + C$$
Finalmente, aplicando la regla de Barrow: $A=I(3)-I(2) = [2\ln (2) - \ln (3)] u^2$
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